Precálculo Ejemplos

$\frac{{(x + h)}^{4} - x^{4}}{h}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x + h)}^{4}$ como ${({(x + h)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{{({(x + h)}^{2})}^{2} - x^{4}}{h}$

Paso 1.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{({(x + h)}^{2})}^{2} - {(x^{2})}^{2}}{h}$

Paso 1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = {(x + h)}^{2}$ y $b = x^{2}$ .

$\frac{({(x + h)}^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{((x + h) (x + h) + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Paso 1.4.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x (x + h) + h (x + h) + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Paso 1.4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x \cdot x + x h + h (x + h) + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Paso 1.4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Paso 1.4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{(x^{2} + x h + h x + h \cdot h + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Paso 1.4.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$\frac{(x^{2} + x h + h x + h^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Paso 1.4.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 1.4.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$\frac{(x^{2} + h x + h x + h^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Paso 1.4.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$\frac{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Paso 1.4.4

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Paso 1.4.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x + h$ y $b = x$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((x + h + x) (x + h - x))}{h}$

Paso 1.4.6

Simplifica.

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Paso 1.4.6.1

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((h + 2 x) (x + h - x))}{h}$

Paso 1.4.6.2

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((h + 2 x) (h + 0))}{h}$

Paso 1.4.6.3

Suma $h$ y $0$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((h + 2 x) h)}{h}$

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x) h}{h}$

Paso 2

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x) h}{h}$

Paso 2.2

Divide $(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x)$ por $1$ .

$(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x)$

Paso 3

Expande $(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$2 x^{2} h + 2 x^{2} (2 x) + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 x^{2} x + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Paso 4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1

Mueve $x$ .

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Paso 4.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Paso 4.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Paso 4.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 x^{3} + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Paso 4.4

Multiplica $h$ por $h$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1

Mueve $h$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 (h \cdot h) x + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Paso 4.4.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Paso 4.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.1

Mueve $x$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h (x \cdot x) \cdot 2 + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Paso 4.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h x^{2} \cdot 2 + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Paso 4.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Paso 4.7

Multiplica $h^{2}$ por $h$ sumando los exponentes.

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Paso 4.7.1

Multiplica $h^{2}$ por $h$ .

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Paso 4.7.1.1

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{2} h^{1} + h^{2} (2 x)$

Paso 4.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{2 + 1} + h^{2} (2 x)$

Paso 4.7.2

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{3} + h^{2} (2 x)$

Paso 4.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{3} + 2 h^{2} x$

Paso 5

Suma $2 x^{2} h$ y $4 h x^{2}$ .

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Paso 5.1

Mueve $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h x^{2} + 4 h x^{2} + h^{3} + 2 h^{2} x$

Paso 5.2

Suma $2 h x^{2}$ y $4 h x^{2}$ .

$4 x^{3} + 2 h^{2} x + 6 h x^{2} + h^{3} + 2 h^{2} x$

Paso 6

Suma $2 h^{2} x$ y $2 h^{2} x$ .

$4 x^{3} + 6 h x^{2} + h^{3} + 4 h^{2} x$

Paso 7

Reordena.

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Paso 7.1

Mueve $4 x^{3}$ .

$6 h x^{2} + h^{3} + 4 h^{2} x + 4 x^{3}$

Paso 7.2

Mueve $6 h x^{2}$ .

$h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$