Precálculo Ejemplos

${(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{6} \cdot i)}^{2}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Combina $\frac{\sqrt{13}}{6}$ y $i$ .

${(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6})}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe ${(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6})}^{2}$ como $(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6}) (\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6})$ .

$(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6}) (\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6})$

Paso 2

Expande $(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6}) (\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6}) + \frac{\sqrt{13} i}{6} (\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6} + \frac{\sqrt{13} i}{6} (\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$

Paso 3.1.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$

Paso 3.1.2

Multiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$ .

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Paso 3.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{\sqrt{13} i}{6}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{3 \cdot 6} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$

Paso 3.1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{13} i}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{6 \cdot 3} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$

Paso 3.1.4

Multiplica $\frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{13} i}{6}$ por $\frac{\sqrt{13} i}{6}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i (\sqrt{13} i)}{6 \cdot 6}$

Paso 3.1.4.2

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13} i i}{6 \cdot 6}$

Paso 3.1.4.3

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1} i i}{6 \cdot 6}$

Paso 3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{1 + 1} i i}{6 \cdot 6}$

Paso 3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{2} i i}{6 \cdot 6}$

Paso 3.1.4.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{2} (i^{1} i)}{6 \cdot 6}$

Paso 3.1.4.7

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{2} (i^{1} i^{1})}{6 \cdot 6}$

Paso 3.1.4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{2} i^{1 + 1}}{6 \cdot 6}$

Paso 3.1.4.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{2} i^{2}}{6 \cdot 6}$

Paso 3.1.4.10

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{2} i^{2}}{36}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Reescribe ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

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Paso 3.1.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{36}$

Paso 3.1.5.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{36}$

Paso 3.1.5.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{13^{\frac{2}{2}} i^{2}}{36}$

Paso 3.1.5.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.5.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{13^{\frac{2}{2}} i^{2}}{36}$

Paso 3.1.5.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{13^{1} i^{2}}{36}$

Paso 3.1.5.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{13 i^{2}}{36}$

Paso 3.1.5.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{13 \cdot - 1}{36}$

Paso 3.1.6

Multiplica $13$ por $- 1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{- 13}{36}$

Paso 3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} - \frac{13}{36}$

Paso 3.2

Para escribir $\frac{1}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{13}{36} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18}$

Paso 3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{9 \cdot 4} - \frac{13}{36} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18}$

Paso 3.3.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$\frac{4}{36} - \frac{13}{36} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - 13}{36} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18}$

Paso 3.5

Resta $13$ de $4$ .

$\frac{- 9}{36} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18}$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 9}{36} + \frac{2 \sqrt{13} i}{18}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $- 9$ y $36$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$\frac{9 (- 1)}{36} + \frac{2 \sqrt{13} i}{18}$

Paso 4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1

Factoriza $9$ de $36$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 4} + \frac{2 \sqrt{13} i}{18}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 4} + \frac{2 \sqrt{13} i}{18}$

Paso 4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{4} + \frac{2 \sqrt{13} i}{18}$

Paso 4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{13} i}{18}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $2$ y $18$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{13} i$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2 (\sqrt{13} i)}{18}$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2 (\sqrt{13} i)}{2 \cdot 9}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{4} + \frac{2 (\sqrt{13} i)}{2 \cdot 9}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{13} i}{9}$