Precálculo Ejemplos

$\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ por $\frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{6}} \cdot \frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ por $\frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{6}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{(10 \sqrt{2} - \sqrt{6}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{6}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{100 {\sqrt{2}}^{2} + 10 \sqrt{12} - 10 \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{6}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{194}$

Paso 3

Expande $(5 \sqrt{2} + \sqrt{6}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{6})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (10 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{194}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{194}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2})$ .

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Paso 4.1.1.1

Multiplica $10$ por $5$ .

$\frac{50 \sqrt{2} \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.1.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{50 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.1.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{50 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{50 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{50 {\sqrt{2}}^{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{50 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{50 \cdot 2^{1} + 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{50 \cdot 2 + 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.3

Multiplica $50$ por $2$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.4

Multiplica $5 \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Paso 4.1.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{100 + 5 \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{12} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.5

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{100 + 5 (2 \sqrt{3}) + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.7

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{3} + \sqrt{6} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.8

Multiplica $\sqrt{6} (10 \sqrt{2})$ .

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Paso 4.1.8.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{100 + 10 \sqrt{3} + 10 \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.8.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{3} + 10 \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.9

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.1.9.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{3} + 10 \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.9.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{3} + 10 \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.10

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{100 + 10 \sqrt{3} + 10 (2 \sqrt{3}) + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.11

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{3} + 20 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{194}$

Paso 4.1.12

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{100 + 10 \sqrt{3} + 20 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6}}{194}$

Paso 4.1.13

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{3} + 20 \sqrt{3} + \sqrt{36}}{194}$

Paso 4.1.14

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{3} + 20 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}}}{194}$

Paso 4.1.15

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{100 + 10 \sqrt{3} + 20 \sqrt{3} + 6}{194}$

Paso 4.2

Suma $100$ y $6$ .

$\frac{106 + 10 \sqrt{3} + 20 \sqrt{3}}{194}$

Paso 4.3

Suma $10 \sqrt{3}$ y $20 \sqrt{3}$ .

$\frac{106 + 30 \sqrt{3}}{194}$

Paso 5

Cancela el factor común de $106 + 30 \sqrt{3}$ y $194$ .

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Paso 5.1

Factoriza $2$ de $106$ .

$\frac{2 (53) + 30 \sqrt{3}}{194}$

Paso 5.2

Factoriza $2$ de $30 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (53) + 2 (15 \sqrt{3})}{194}$

Paso 5.3

Factoriza $2$ de $2 (53) + 2 (15 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (53 + 15 \sqrt{3})}{194}$

Paso 5.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.1

Factoriza $2$ de $194$ .

$\frac{2 (53 + 15 \sqrt{3})}{2 \cdot 97}$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (53 + 15 \sqrt{3})}{2 \cdot 97}$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{53 + 15 \sqrt{3}}{97}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{53 + 15 \sqrt{3}}{97}$

Forma decimal:

$0.81423466 \dots$