Precálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{7} + 4 i}{5 - 3 i}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{\sqrt{7} + 4 i}{5 - 3 i}$ por el conjugado de $5 - 3 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{\sqrt{7} + 4 i}{5 - 3 i} \cdot \frac{5 + 3 i}{5 + 3 i}$

Paso 2

Multiplica.

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Paso 2.1

Combinar.

$\frac{(\sqrt{7} + 4 i) (5 + 3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Expande $(\sqrt{7} + 4 i) (5 + 3 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{7} (5 + 3 i) + 4 i (5 + 3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{7} \cdot 5 + \sqrt{7} (3 i) + 4 i (5 + 3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{7} \cdot 5 + \sqrt{7} (3 i) + 4 i \cdot 5 + 4 i (3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{7}$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 i) + 4 i \cdot 5 + 4 i (3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.2.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{7}$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \cdot \sqrt{7} i + 4 i \cdot 5 + 4 i (3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 4 i (3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $4 i (3 i)$ .

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Paso 2.2.2.4.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 i i}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.2.2.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 (i^{1} i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.2.2.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 (i^{1} i^{1})}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.2.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 i^{1 + 1}}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.2.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 i^{2}}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.2.2.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 \cdot - 1}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.2.2.6

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i - 12}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.2.3

Reordena $5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i$ y $- 12$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Expande $(5 - 3 i) (5 + 3 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{5 (5 + 3 i) - 3 i (5 + 3 i)}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{5 \cdot 5 + 5 (3 i) - 3 i (5 + 3 i)}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{5 \cdot 5 + 5 (3 i) - 3 i \cdot 5 - 3 i (3 i)}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 5 (3 i) - 3 i \cdot 5 - 3 i (3 i)}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 3 i \cdot 5 - 3 i (3 i)}$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 3 i (3 i)}$

Paso 2.3.2.4

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 i i}$

Paso 2.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 (i^{1} i)}$

Paso 2.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 i^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 i^{2}}$

Paso 2.3.2.9

Resta $15 i$ de $15 i$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 0 - 9 i^{2}}$

Paso 2.3.2.10

Suma $25$ y $0$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 - 9 i^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 - 9 \cdot - 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 9}$

Paso 2.3.4

Suma $25$ y $9$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{34}$

Paso 3

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$\frac{- 1 (12) + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{34}$

Paso 4

Factoriza $- 1$ de $5 \sqrt{7}$ .

$\frac{- 1 (12) - (- 5 \sqrt{7}) + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{34}$

Paso 5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (12) - (- 5 \sqrt{7})$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7}) + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{34}$

Paso 6

Factoriza $- 1$ de $3 \sqrt{7} i$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7}) - (- 3 \sqrt{7} i) + 20 i}{34}$

Paso 7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (12 - 5 \sqrt{7}) - (- 3 \sqrt{7} i)$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i) + 20 i}{34}$

Paso 8

Factoriza $- 1$ de $20 i$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i) - (- 20 i)}{34}$

Paso 9

Factoriza $- 1$ de $- 1 (12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i) - (- 20 i)$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i - 20 i)}{34}$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i - 20 i}{34}$

Paso 11

Divide la fracción $\frac{12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i - 20 i}{34}$ en dos fracciones.

$- (\frac{12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Paso 12

Divide la fracción $\frac{12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i}{34}$ en dos fracciones.

$- (\frac{12 - 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Paso 13

Divide la fracción $\frac{12 - 5 \sqrt{7}}{34}$ en dos fracciones.

$- (\frac{12}{34} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Paso 14

Cancela el factor común de $12$ y $34$ .

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Paso 14.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$- (\frac{2 (6)}{34} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Paso 14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.2.1

Factoriza $2$ de $34$ .

$- (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 17} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Paso 14.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 17} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Paso 14.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{6}{17} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Paso 15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Paso 16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Paso 17

Cancela el factor común de $- 20$ y $34$ .

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Paso 17.1

Factoriza $2$ de $- 20 i$ .

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{2 (- 10 i)}{34})$

Paso 17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 17.2.1

Factoriza $2$ de $34$ .

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{2 (- 10 i)}{2 (17)})$

Paso 17.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{2 (- 10 i)}{2 \cdot 17})$

Paso 17.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 10 i}{17})$

Paso 18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} - \frac{10 i}{17})$