Precálculo Ejemplos

$\cos (\arcsin (\sqrt{1 - x^{2}}))$

Paso 1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}, \sqrt{1 - x^{2}})$ , $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\sqrt{1 - x^{2}})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}, \sqrt{1 - x^{2}})$ . Por lo tanto, $\cos (\arcsin (\sqrt{1 - x^{2}}))$ es $\sqrt{1 - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}$

Paso 1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}$

Paso 2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\sqrt{(1 + \sqrt{1 - x^{2}}) (1 - \sqrt{1 - x^{2}})}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{(1 + \sqrt{1^{2} - x^{2}}) (1 - \sqrt{1 - x^{2}})}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{1 - x^{2}})}$

Paso 3.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{1^{2} - x^{2}})}$

Paso 3.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$