Precálculo Ejemplos

$\cos (\arcsin (\sqrt{\frac{3}{2}}))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{\frac{3}{2}}}^{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}})$ , $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{\frac{3}{2}}}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\sqrt{\frac{3}{2}})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{\frac{3}{2}}}^{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}})$ . Por lo tanto, $\cos (\arcsin (\sqrt{\frac{3}{2}}))$ es $\sqrt{\frac{- 1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{- 1}{2}}$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sqrt{- \frac{1}{2}}$

Paso 3

Reescribe $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Paso 3.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Paso 3.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Paso 4

Retira los términos de abajo del radical.

$i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Paso 5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 6

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 7

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 8

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 9

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 9.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 9.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 9.5

Suma $1$ y $1$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 9.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 9.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.6.4.1

Cancela el factor común.

$i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.6.4.2

Reescribe la expresión.

$i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 9.6.5

Evalúa el exponente.

$i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 10

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{i \sqrt{2}}{2}$