Precálculo Ejemplos

$\log_{2} (8) + \log_{8} (x + 2) - \log_{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$

Paso 1

Establece el argumento en $\log_{8} (x + 2)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 2 > 0$

Paso 2

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$x > - 2$

Paso 3

Establece el argumento en $\log_{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{4} + 4 x^{2} + 4 > 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} + 4 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 4.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u^{2} + 4 u + 2^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Paso 4.2.3

Reescribe el polinomio.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Paso 4.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 2$ .

${(u + 2)}^{2} = 0$

Paso 4.3

Establece $u + 2$ igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Paso 4.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 2$

Paso 4.5

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = - 2$

Paso 4.6

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Paso 4.6.2

Simplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Paso 4.6.2.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Paso 4.6.2.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Paso 4.6.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Paso 4.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.6.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{2}$

Paso 4.6.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{2}$

Paso 4.6.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Paso 4.7

Identifica el coeficiente principal.

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Paso 4.7.1

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$x^{4}$

Paso 4.7.2

El coeficiente principal en un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

$1$

Paso 4.8

Como no hay intersecciones reales con x y el coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia arriba y $x^{4} + 4 x^{2} + 4$ siempre es mayor que $0$ .

Todos los números reales

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- 2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > - 2}$

Paso 6