Precálculo Ejemplos

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + x + 5}{x^{2} + 3 x + 2}$

Paso 1

Divide con la división polinómica larga.

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x$ .

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

Paso 1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 7 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$7$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$5$
					-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$2 x$	-	$7$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$5$
					-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$
							-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$14$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 7 x^{2} - 21 x - 14$ .

$2 x$

$7$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

$7 x^{2}$

$21 x$

$14$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x$

$7$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

$7 x^{2}$

$21 x$

$14$

$18 x$

$19$

Paso 1.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$2 x - 7 + \frac{18 x + 19}{x^{2} + 3 x + 2}$

Paso 2

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2} + 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $3$ .

$1, 2$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{18 x + 19}{(x + 1) (x + 2)}$

Paso 2.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Paso 2.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Paso 2.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{(18 x + 19) (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(18 x + 19) (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(18 x + 19) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(18 x + 19) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.6.2

Divide $18 x + 19$ por $1$ .

$18 x + 19 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 2.7.1.1

Cancela el factor común.

$18 x + 19 = \frac{A (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.7.1.2

Divide $(A) (x + 2)$ por $1$ .

$18 x + 19 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$18 x + 19 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $A$ .

$18 x + 19 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.7.4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 2.7.4.1

Cancela el factor común.

$18 x + 19 = A x + 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.7.4.2

Divide $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$18 x + 19 = A x + 2 A + (B) (x + 1)$

Paso 2.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$18 x + 19 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

Paso 2.7.6

Multiplica $B$ por $1$ .

$18 x + 19 = A x + 2 A + B x + B$

Paso 2.8

Mueve $2 A$ .

$18 x + 19 = A x + B x + 2 A + B$

Paso 3

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$18 = A + B$

Paso 3.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$19 = 2 A + B$

Paso 3.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$18 = A + B$

$19 = 2 A + B$

$18 = A + B$

$19 = 2 A + B$

Paso 4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.1

Resuelve $A$ en $18 = A + B$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 18$ .

$A + B = 18$

$19 = 2 A + B$

Paso 4.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 18 - B$

$19 = 2 A + B$

$A = 18 - B$

$19 = 2 A + B$

Paso 4.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $18 - B$ en cada ecuación.

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Paso 4.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $19 = 2 A + B$ por $18 - B$ .

$19 = 2 (18 - B) + B$

$A = 18 - B$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $2 (18 - B) + B$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$19 = 2 \cdot 18 + 2 (- B) + B$

$A = 18 - B$

Paso 4.2.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $18$ .

$19 = 36 + 2 (- B) + B$

$A = 18 - B$

Paso 4.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$19 = 36 - 2 B + B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - 2 B + B$

$A = 18 - B$

Paso 4.2.2.1.2

Suma $- 2 B$ y $B$ .

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

Paso 4.3

Resuelve $B$ en $19 = 36 - B$ .

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $36 - B = 19$ .

$36 - B = 19$

$A = 18 - B$

Paso 4.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Resta $36$ de ambos lados de la ecuación.

$- B = 19 - 36$

$A = 18 - B$

Paso 4.3.2.2

Resta $36$ de $19$ .

$- B = - 17$

$A = 18 - B$

$- B = - 17$

$A = 18 - B$

Paso 4.3.3

Divide cada término en $- B = - 17$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Divide cada término en $- B = - 17$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

Paso 4.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

Paso 4.3.3.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

$B = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

Paso 4.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.3.1

Divide $- 17$ por $- 1$ .

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

Paso 4.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $17$ en cada ecuación.

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Paso 4.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 18 - B$ por $17$ .

$A = 18 - (17)$

$B = 17$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica $18 - (17)$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $17$ .

$A = 18 - 17$

$B = 17$

Paso 4.4.2.1.2

Resta $17$ de $18$ .

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

Paso 4.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 1, B = 17$

Paso 5

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $2 x - 7 + \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$2 x - 7 + \frac{1}{x + 1} + \frac{17}{x + 2}$