Precálculo Ejemplos

$\frac{2}{x^{3} - 1}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3} - 1^{3}}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Paso 1.1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Paso 1.3

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x^{2} + x + 1$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.6.2

Divide $2$ por $1$ .

$2 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$2 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x^{2} + x + 1)$ por $1$ .

$2 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.7.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $x^{2} + x + 1$ .

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Paso 1.7.4.1

Cancela el factor común.

$2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.7.4.2

Divide $(B x + C) (x - 1)$ por $1$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Paso 1.7.5

Expande $(B x + C) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.7.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Paso 1.7.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Paso 1.7.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Paso 1.7.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.6.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.6.1.1

Mueve $x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Paso 1.7.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Paso 1.7.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Paso 1.7.6.3

Reescribe $- 1 (B x)$ como $- (B x)$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Paso 1.7.6.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $C$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Paso 1.7.6.5

Reescribe $- 1 C$ como $- C$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Paso 1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.1

Reordena $B$ y $x^{2}$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Paso 1.8.2

Mueve $B$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Paso 1.8.3

Mueve $A$ .

$2 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Paso 1.8.4

Mueve $A x$ .

$2 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A - 1 B + C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A - 1 C$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$A = - B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A - 1 B + C$ por $- B$ .

$0 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $(- B) - 1 B + C$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$0 = - B - B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Paso 3.2.2.1.2

Resta $B$ de $- B$ .

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $2 = A - 1 C$ por $- B$ .

$2 = (- B) - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.1

Reescribe $- 1 C$ como $- C$ .

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

Paso 3.3

Resuelve $C$ en $0 = - 2 B + C$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 2 B + C = 0$ .

$- 2 B + C = 0$

$2 = - B - C$

$A = - B$

Paso 3.3.2

Suma $2 B$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

$C = 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $C$ por $2 B$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $2 = - B - C$ por $2 B$ .

$2 = - B - (2 B)$

$C = 2 B$

$A = - B$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $- B - (2 B)$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 = - B - 2 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

Paso 3.4.2.1.2

Resta $2 B$ de $- B$ .

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

Paso 3.5

Resuelve $B$ en $2 = - 3 B$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $- 3 B = 2$ .

$- 3 B = 2$

$C = 2 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $- 3 B = 2$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $- 3 B = 2$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- \frac{2}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $C = 2 B$ por $- \frac{2}{3}$ .

$C = 2 (- \frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica $2 (- \frac{2}{3})$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Multiplica $2 (- \frac{2}{3})$ .

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Paso 3.6.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$C = - 2 (\frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Paso 3.6.2.1.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{2}{3}$ .

$C = \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Paso 3.6.2.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Paso 3.6.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $- \frac{2}{3}$ .

$A = - (- \frac{2}{3})$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Paso 3.6.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.4.1

Multiplica $- (- \frac{2}{3})$ .

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Paso 3.6.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1 (\frac{2}{3})$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Paso 3.6.4.1.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{2}{3}, C = - \frac{4}{3}, B = - \frac{2}{3}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Combina $x$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Paso 5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$