Precálculo Ejemplos

${(\frac{4}{3})}^{1 - x} = 5^{x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln ({(\frac{4}{3})}^{1 - x}) = \ln (5^{x})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\frac{4}{3})}^{1 - x})$ ; para ello, mueve $1 - x$ fuera del logaritmo.

$(1 - x) \ln (\frac{4}{3}) = \ln (5^{x})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{4}{3})$ como $\ln (4) - \ln (3)$ .

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = \ln (5^{x})$

Paso 4

Expande $\ln (5^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.1

Simplifica $(1 - x) (\ln (4) - \ln (3))$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Paso 5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Paso 5.1.3

Expande $(1 - x) (\ln (4) - \ln (3))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (\ln (4) - \ln (3)) - x (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Paso 5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Paso 5.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

Paso 5.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $\ln (4)$ por $1$ .

$\ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $- \ln (3)$ por $1$ .

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

Paso 5.1.4.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) - 1 \cdot - 1 x \ln (3) = x \ln (5)$

Paso 5.1.4.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + 1 x \ln (3) = x \ln (5)$

Paso 5.1.4.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) = x \ln (5)$

Paso 5.2

Resta $x \ln (5)$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = 0$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $\ln (4)$ de ambos lados de la ecuación.

$- \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4)$

Paso 5.3.2

Suma $\ln (3)$ a ambos lados de la ecuación.

$- x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

Paso 5.4

Factoriza $x$ de $- x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5)$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $x$ de $- x \ln (4)$ .

$x (- 1 \ln (4)) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

Paso 5.4.2

Factoriza $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

Paso 5.4.3

Factoriza $x$ de $- x \ln (5)$ .

$x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Paso 5.4.4

Factoriza $x$ de $x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3))$ .

$x (- 1 \ln (4) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Paso 5.4.5

Factoriza $x$ de $x (- 1 \ln (4) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (- 1 \ln (4) + \ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Paso 5.5

Reescribe $- 1 \ln (4)$ como $- \ln (4)$ .

$x (- \ln (4) + \ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Paso 5.6

Reescribe $- 1 \ln (5)$ como $- \ln (5)$ .

$x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Paso 5.7

Divide cada término en $x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$ por $- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ y simplifica.

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Paso 5.7.1

Divide cada término en $x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$ por $- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Paso 5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.2.1

Cancela el factor común de $- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ .

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Paso 5.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Paso 5.7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Paso 5.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.7.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- \ln (4) + \ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Paso 5.7.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (4)$ .

$x = \frac{- \ln (4) + \ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Paso 5.7.3.3

Factoriza $- 1$ de $\ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (4) - 1 (- \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Paso 5.7.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \ln (4) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = \frac{- (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Paso 5.7.3.5

Reescribe $- (\ln (4) - \ln (3))$ como $- 1 (\ln (4) - \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Paso 5.7.3.6

Factoriza $- 1$ de $- \ln (4)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Paso 5.7.3.7

Factoriza $- 1$ de $\ln (3)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) - 1 (- \ln (3)) - \ln (5)}$

Paso 5.7.3.8

Factoriza $- 1$ de $- \ln (4) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)}$

Paso 5.7.3.9

Factoriza $- 1$ de $- \ln (5)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)}$

Paso 5.7.3.10

Factoriza $- 1$ de $- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

Paso 5.7.3.11

Reescribe $- (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))$ como $- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

Paso 5.7.3.12

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

Paso 5.7.3.13

Reescribe la expresión.

$x = \frac{\ln (4) - \ln (3)}{\ln (4) - \ln (3) + \ln (5)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (4) - \ln (3)}{\ln (4) - \ln (3) + \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 0.15164147 \dots$