Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} > \frac{8}{15}$

Paso 1

Resta $\frac{8}{15}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{1}{2 b + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{1}{2 b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{1}{b + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 b + 1}{2 b + 1}$ .

$\frac{1}{2 b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} + \frac{1}{b + 1} \cdot \frac{2 b + 1}{2 b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 b + 1) (b + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2 b + 1}$ por $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{1}{b + 1} \cdot \frac{2 b + 1}{2 b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{1}{b + 1}$ por $\frac{2 b + 1}{2 b + 1}$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{2 b + 1}{(b + 1) (2 b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(b + 1) (2 b + 1)$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{2 b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{b + 1 + 2 b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Paso 2.5

Suma $b$ y $2 b$ .

$\frac{3 b + 1 + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Paso 2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Paso 2.7

Para escribir $\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} \cdot \frac{15}{15} - \frac{8}{15} > 0$

Paso 2.8

Para escribir $- \frac{8}{15}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)}$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} \cdot \frac{15}{15} - \frac{8}{15} \cdot \frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.9.1

Multiplica $\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15} - \frac{8}{15} \cdot \frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.9.2

Multiplica $\frac{8}{15}$ por $\frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)}$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 ((2 b + 1) (b + 1))} > 0$

Paso 2.9.3

Reordena los factores de $(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{15 (2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 ((2 b + 1) (b + 1))} > 0$

Paso 2.9.4

Reordena los factores de $15 ((2 b + 1) (b + 1))$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{15 (2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15 - 8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 b \cdot 15 + 2 \cdot 15 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.2

Multiplica $15$ por $3$ .

$\frac{45 b + 2 \cdot 15 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.3

Multiplica $2$ por $15$ .

$\frac{45 b + 30 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{45 b + 30 + (- 8 (2 b) - 8 \cdot 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.5

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{45 b + 30 + (- 16 b - 8 \cdot 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.6

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$\frac{45 b + 30 + (- 16 b - 8) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.7

Expande $(- 16 b - 8) (b + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.11.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{45 b + 30 - 16 b (b + 1) - 8 (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{45 b + 30 - 16 b \cdot b - 16 b \cdot 1 - 8 (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{45 b + 30 - 16 b \cdot b - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.11.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.8.1.1

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.8.1.1.1

Mueve $b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 (b \cdot b) - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.8.1.1.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.8.1.2

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.8.1.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b - 8 b - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.8.2

Resta $8 b$ de $- 16 b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 24 b - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.9

Resta $24 b$ de $45 b$ .

$\frac{21 b + 30 - 16 b^{2} - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.10

Resta $8$ de $30$ .

$\frac{21 b - 16 b^{2} + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.11

Reordena los términos.

$\frac{- 16 b^{2} + 21 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.12

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.11.12.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 16 \cdot 22 = - 352$ y cuya suma es $b = 21$ .

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Paso 2.11.12.1.1

Factoriza $21$ de $21 b$ .

$\frac{- 16 b^{2} + 21 (b) + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.12.1.2

Reescribe $21$ como $- 11$ más $32$

$\frac{- 16 b^{2} + (- 11 + 32) b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.12.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 16 b^{2} - 11 b + 32 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.12.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.11.12.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- 16 b^{2} - 11 b) + 32 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.12.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{b (- 16 b - 11) - 2 (- 16 b - 11)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.11.12.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 16 b - 11$ .

$\frac{(- 16 b - 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.12

Factoriza $- 1$ de $- 16 b$ .

$\frac{(- (16 b) - 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.13

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$\frac{(- (16 b) - 1 (11)) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.14

Factoriza $- 1$ de $- (16 b) - 1 (11)$ .

$\frac{- (16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.15

Reescribe $- (16 b + 11)$ como $- 1 (16 b + 11)$ .

$\frac{- 1 (16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 2.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$16 b + 11 = 0$

$b - 2 = 0$

$2 b + 1 = 0$

$b + 1 = 0$

Paso 4

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$16 b = - 11$

Paso 5

Divide cada término en $16 b = - 11$ por $16$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $16 b = - 11$ por $16$ .

$\frac{16 b}{16} = \frac{- 11}{16}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 b}{16} = \frac{- 11}{16}$

Paso 5.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{- 11}{16}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$b = - \frac{11}{16}$

Paso 6

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$b = 2$

Paso 7

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 b = - 1$

Paso 8

Divide cada término en $2 b = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $2 b = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 8.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$b = - \frac{1}{2}$

Paso 9

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$b = - 1$

Paso 10

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$b = - \frac{11}{16}$

$b = 2$

$b = - \frac{1}{2}$

$b = - 1$

Paso 11

Consolida las soluciones.

$b = - \frac{11}{16}, 2, - \frac{1}{2}, - 1$

Paso 12

Obtén el dominio de $- \frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)}$ .

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Paso 12.1

Establece el denominador en $\frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$15 (2 b + 1) (b + 1) = 0$

Paso 12.2

Resuelve $b$

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Paso 12.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 b + 1 = 0$

$b + 1 = 0$

Paso 12.2.2

Establece $2 b + 1$ igual a $0$ y resuelve $b$ .

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Paso 12.2.2.1

Establece $2 b + 1$ igual a $0$ .

$2 b + 1 = 0$

Paso 12.2.2.2

Resuelve $2 b + 1 = 0$ en $b$ .

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Paso 12.2.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 b = - 1$

Paso 12.2.2.2.2

Divide cada término en $2 b = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 12.2.2.2.2.1

Divide cada término en $2 b = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 12.2.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 12.2.2.2.2.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Paso 12.2.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$b = - \frac{1}{2}$

Paso 12.2.3

Establece $b + 1$ igual a $0$ y resuelve $b$ .

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Paso 12.2.3.1

Establece $b + 1$ igual a $0$ .

$b + 1 = 0$

Paso 12.2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$b = - 1$

Paso 12.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $15 (2 b + 1) (b + 1) = 0$ verdadera.

$b = - \frac{1}{2}, - 1$

Paso 12.3

El dominio son todos los valores de $b$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Paso 13

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$b < - 1$

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < b < 2$

$b > 2$

Paso 14

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 14.1

Prueba un valor en el intervalo $b < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.1.1

Elije un valor en el intervalo $b < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$b = - 4$

Paso 14.1.2

Reemplaza $b$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2 (- 4) + 1} + \frac{1}{(- 4) + 1} > \frac{8}{15}$

Paso 14.1.3

$- 0.\overline{476190}$ del lado izquierdo no es mayor que $0.5\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 14.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < b < - \frac{11}{16}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < b < - \frac{11}{16}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$b = - 0.84$

Paso 14.2.2

Reemplaza $b$ con $- 0.84$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2 (- 0.84) + 1} + \frac{1}{(- 0.84) + 1} > \frac{8}{15}$

Paso 14.2.3

$4.77941176$ del lado izquierdo es mayor que $0.5\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 14.3

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.3.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$b = - 0.59$

Paso 14.3.2

Reemplaza $b$ con $- 0.59$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2 (- 0.59) + 1} + \frac{1}{(- 0.59) + 1} > \frac{8}{15}$

Paso 14.3.3

$- 3.\overline{11653}$ del lado izquierdo no es mayor que $0.5\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 14.4

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < b < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.4.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < b < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$b = 0$

Paso 14.4.2

Reemplaza $b$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2 (0) + 1} + \frac{1}{(0) + 1} > \frac{8}{15}$

Paso 14.4.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $0.5\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 14.5

Prueba un valor en el intervalo $b > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.5.1

Elije un valor en el intervalo $b > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$b = 4$

Paso 14.5.2

Reemplaza $b$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2 (4) + 1} + \frac{1}{(4) + 1} > \frac{8}{15}$

Paso 14.5.3

$0.3\overline{1}$ del lado izquierdo no es mayor que $0.5\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 14.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$b < - 1$ Falso

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ Verdadero

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < b < 2$ Verdadero

$b > 2$ Falso

$b < - 1$ Falso

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ Verdadero

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < b < 2$ Verdadero

$b > 2$ Falso

Paso 15

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ o $- \frac{1}{2} < b < 2$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 1 < b < - \frac{11}{16} or - \frac{1}{2} < b < 2$

Notación de intervalo:

$(- 1, - \frac{11}{16}) \cup (- \frac{1}{2}, 2)$

Paso 17