Precálculo Ejemplos

$\tan (\arccos (\frac{x}{5}))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ , $(\frac{x}{5}, 0)$ y el origen. Entonces $\arccos (\frac{x}{5})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ . Por lo tanto, $\tan (\arccos (\frac{x}{5}))$ es $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}{\frac{x}{5}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}{\frac{x}{5}}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{5}{x}$

Paso 3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{5}{x}$

Paso 4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{5}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

Paso 5.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

Paso 5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}} \frac{5}{x}$

Paso 5.5

Multiplica $\frac{5 + x}{5}$ por $\frac{5 - x}{5}$ .

$\sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}} \frac{5}{x}$

Paso 5.6

Multiplica $5$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}} \frac{5}{x}$

Paso 6

Reescribe $\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ .

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Paso 6.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(5 + x) (5 - x)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}} \frac{5}{x}$

Paso 6.2

Factoriza la potencia perfecta $5^{2}$ de $25$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}} \frac{5}{x}$

Paso 6.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))} \frac{5}{x}$

Paso 7

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)} \frac{5}{x}$

Paso 8

Combina $\frac{1}{5}$ y $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5} \cdot \frac{5}{x}$

Paso 9

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5} \cdot \frac{5}{x}$

Paso 9.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \frac{1}{x}$

Paso 10

Combina $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{x}$