Precálculo Ejemplos

$\log (8 - x) > 2 \log (x + 4)$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log (8 - x) = 2 \log (x + 4)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Simplifica $2 \log (x + 4)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log (8 - x) = \log ({(x + 4)}^{2})$

Paso 2.2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$8 - x = {(x + 4)}^{2}$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(x + 4)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$8 - x = 0 + 0 + {(x + 4)}^{2}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$8 - x = (x + 4) (x + 4)$

Paso 2.3.1.3

Expande $(x + 4) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 - x = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

Paso 2.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

Paso 2.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$8 - x = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.4.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$8 - x = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.4.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$8 - x = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

Paso 2.3.1.4.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$8 - x = x^{2} + 8 x + 16$

Paso 2.3.2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} + 8 x + 16 = 8 - x$

Paso 2.3.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.3.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 8 x + 16 + x = 8$

Paso 2.3.3.2

Suma $8 x$ y $x$ .

$x^{2} + 9 x + 16 = 8$

Paso 2.3.4

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 9 x + 16 - 8 = 0$

Paso 2.3.5

Resta $8$ de $16$ .

$x^{2} + 9 x + 8 = 0$

Paso 2.3.6

Factoriza $x^{2} + 9 x + 8$ con el método AC.

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Paso 2.3.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $9$ .

$1, 8$

Paso 2.3.6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 1) (x + 8) = 0$

Paso 2.3.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 8 = 0$

Paso 2.3.8

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.8.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.8.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.3.9

Establece $x + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.9.1

Establece $x + 8$ igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Paso 2.3.9.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 8$

Paso 2.3.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x + 8) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - 8$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}} > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$8 - x = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 8$

Paso 3.2.3

Divide cada término en $- x = - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Divide cada término en $- x = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 3.2.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.3.1

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$x = 8$

Paso 3.2.4

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 3.2.5

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 3.2.6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 8$

$x = - 4$

Paso 3.2.7

Consolida las soluciones.

$x = 8, - 4$

Paso 3.2.8

Obtén el dominio de $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

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Paso 3.2.8.1

Establece el denominador en $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Paso 3.2.8.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.8.2.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 3.2.8.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 3.2.8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Paso 3.2.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < 8$

$x > 8$

Paso 3.2.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.2.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 3.2.10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{8 - (- 6)}{{((- 6) + 4)}^{2}} > 0$

Paso 3.2.10.1.3

$3.5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.2.10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 3.2.10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{8 - (0)}{{((0) + 4)}^{2}} > 0$

Paso 3.2.10.2.3

$0.5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.2.10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 3.2.10.3.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$\frac{8 - (10)}{{((10) + 4)}^{2}} > 0$

Paso 3.2.10.3.3

$- 0.01020408$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.2.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 8$ Verdadero

$x > 8$ Falso

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 8$ Verdadero

$x > 8$ Falso

Paso 3.2.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 4$ o $- 4 < x < 8$

Paso 3.3

Establece el denominador en $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 3.4.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 8)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 8$

$x > 8$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$\log (8 - (- 10)) > 2 \log ((- 10) + 4)$

Paso 5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.1.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $- 8 < x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 8 < x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\log (8 - (- 6)) > 2 \log ((- 6) + 4)$

Paso 5.2.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.2.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.2.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\log (8 - (- 2)) > 2 \log ((- 2) + 4)$

Paso 5.3.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0.60205999$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 5.4

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.4.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.4.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\log (8 - (0)) > 2 \log ((0) + 4)$

Paso 5.4.3

$0.90308998$ del lado izquierdo no es mayor que $1.20411998$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 5.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 5.5.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$\log (8 - (10)) > 2 \log ((10) + 4)$

Paso 5.5.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.5.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.5.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 5.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Falso

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 < x < - 1$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 4 < x < - 1$

Notación de intervalo:

$(- 4, - 1)$

Paso 8