Precálculo Ejemplos

$3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Simplifica $3 \log_{x} (3)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log_{x} (3^{3}) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Paso 2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\log_{x} (27) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Paso 2.1.1.3

Simplifica $4 \log_{x} (2)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\log_{x} (27) + \log_{x} (2^{4}) - \log_{x} (54) = 3$

Paso 2.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\log_{x} (27) + \log_{x} (16) - \log_{x} (54) = 3$

Paso 2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{x} (27 \cdot 16) - \log_{x} (54) = 3$

Paso 2.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{54}) = 3$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $27$ y $54$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $27$ de $27 \cdot 16$ .

$\log_{x} (\frac{27 (16)}{54}) = 3$

Paso 2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.2.1

Factoriza $27$ de $54$ .

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{27 \cdot 2}) = 3$

Paso 2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{27 \cdot 2}) = 3$

Paso 2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{x} (\frac{16}{2}) = 3$

Paso 2.1.5

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 2.1.5.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2}) = 3$

Paso 2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) = 3$

Paso 2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) = 3$

Paso 2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{x} (\frac{8}{1}) = 3$

Paso 2.1.5.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$\log_{x} (8) = 3$

Paso 3

Reescribe $\log_{x} (8) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{3} = 8$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 8 = 0$

Paso 4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Paso 4.2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Paso 4.2.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 4.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.5

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 4.5.2

Resuelve $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.3

Simplifica.

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Paso 4.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 4.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.5.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.5.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 4.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$