Precálculo Ejemplos

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} = 0$

Paso 2

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x} - 3 e^{x}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - 3 e^{x} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- 3 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3 = 0$

Paso 2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3$ .

$e^{x} (x^{2} - 3) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 5

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x^{2} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 3$

Paso 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x^{2} - 3) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{2} e^{- 4} - 3 e^{- 4} < 0$

Paso 8.1.3

$0.2381033$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} e^{0} - 3 e^{0} < 0$

Paso 8.2.3

$- 3$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{2} e^{4} - 3 e^{4} < 0$

Paso 8.3.3

$709.77595043$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \sqrt{3}$ Falso

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ Verdadero

$x > \sqrt{3}$ Falso

$x < - \sqrt{3}$ Falso

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ Verdadero

$x > \sqrt{3}$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

Notación de intervalo:

$(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Paso 11