Precálculo Ejemplos

$x^{2} < 2 x + 8$

Paso 1

Resta $2 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} - 2 x < 8$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 2 x = 8$

Paso 3

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Paso 4

Factoriza $x^{2} - 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 6

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 7

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 7.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 2$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 4$

$x > 4$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{2} < 2 (- 4) + 8$

Paso 10.1.3

$16$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} < 2 (0) + 8$

Paso 10.2.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

${(6)}^{2} < 2 (6) + 8$

Paso 10.3.3

$36$ del lado izquierdo no es menor que $20$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 < x < 4$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 2 < x < 4$

Notación de intervalo:

$(- 2, 4)$

Paso 13