Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (3 x - 6) < 2$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log_{3} (3 x - 6) = 2$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe $\log_{3} (3 x - 6) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{2} = 3 x - 6$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $3 x - 6 = 3^{2}$ .

$3 x - 6 = 3^{2}$

Paso 2.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$3 x - 6 = 9$

Paso 2.2.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.3.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 9 + 6$

Paso 2.2.3.2

Suma $9$ y $6$ .

$3 x = 15$

Paso 2.2.4

Divide cada término en $3 x = 15$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Divide cada término en $3 x = 15$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{15}{3}$

Paso 2.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{15}{3}$

Paso 2.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{15}{3}$

Paso 2.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.4.3.1

Divide $15$ por $3$ .

$x = 5$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log_{3} (3 x - 6) - 2$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log_{3} (3 x - 6)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 x - 6 > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la desigualdad.

$3 x > 6$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $3 x > 6$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $3 x > 6$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} > \frac{6}{3}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} > \frac{6}{3}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{6}{3}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

Divide $6$ por $3$ .

$x > 2$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(2, \infty)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\log_{3} (3 (0) - 6) < 2$

Paso 5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\log_{3} (3 (4) - 6) < 2$

Paso 5.2.3

$1.63092975$ del lado izquierdo es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\log_{3} (3 (8) - 6) < 2$

Paso 5.3.3

$2.63092975$ del lado izquierdo no es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$2 < x < 5$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$2 < x < 5$

Notación de intervalo:

$(2, 5)$

Paso 8