Precálculo Ejemplos

$\cos (\frac{5 π}{24})$

Paso 1

Reescribe $\frac{5 π}{24}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\cos (\frac{\frac{5 π}{12}}{2})$

Paso 2

Aplica la razón del ángulo mitad del coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{12})}{2}}$

Paso 3

Cambia $\pm$ por $+$ porque el coseno es positivo en el primer cuadrante.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{12})}{2}}$

Paso 4

Obtén el valor exacto de $\cos (\frac{5 π}{12})$ mediante las identidades de suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Divide $\frac{5 π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})}{2}}$

Paso 4.2

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

Paso 4.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

Paso 4.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

Paso 4.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

Paso 4.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 4.7

Simplifica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 4.7.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 4.7.1.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 4.7.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 4.7.1.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{2}}$

Paso 4.7.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{2}}$

Paso 4.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Paso 5

Simplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{4}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Paso 5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.4

Multiplica $\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Multiplica $\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}}$

Paso 5.4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$

Paso 5.5

Reescribe $\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$ como $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

Paso 5.6

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Paso 5.6.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 5.6.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 5.7

Multiplica $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 5.8

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 5.8.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 5.8.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Paso 5.8.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Paso 5.8.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 5.8.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 5.8.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.8.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.8.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.8.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.8.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Paso 5.8.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.9

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

Forma decimal:

$0.79335334 \dots$