Precálculo Ejemplos

$\cos (45) \cos (15) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (15) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.2

El valor exacto de $\cos (15)$ es $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.2.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (45 - 30) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.2.2

Separa la negación.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (45 - (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.2.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.2.4

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.2.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.2.6

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.2.7

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.2.8

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.2.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.2.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.2.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.2.8.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.8.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.2.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.2.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.7.2

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.7.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.7.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.7.3

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.7.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.7.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.7.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.8

Cancela el factor común de $2 \sqrt{3} + 2$ y $8$ .

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Paso 1.8.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.8.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (1)}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.8.3

Factoriza $2$ de $2 (\sqrt{3}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.8.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.8.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 (4)} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.8.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 4} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.8.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \sin (45) \sin (15)$

Paso 1.9

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (15)$

Paso 1.10

El valor exacto de $\sin (15)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.10.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (45 - 30)$

Paso 1.10.2

Separa la negación.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (45 - (30))$

Paso 1.10.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Paso 1.10.4

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Paso 1.10.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Paso 1.10.6

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Paso 1.10.7

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.10.8

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.10.8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.10.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.10.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.10.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.10.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.10.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.10.8.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.10.8.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Paso 1.10.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Paso 1.10.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Paso 1.11

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.11.1

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.11.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8}$

Paso 1.12

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Paso 1.13

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Paso 1.14

Multiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Paso 1.14.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

Paso 1.14.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

Paso 1.14.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Paso 1.14.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Paso 1.15

Simplifica cada término.

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Paso 1.15.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Paso 1.15.2

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.15.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Paso 1.15.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Paso 1.15.3

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Paso 1.15.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.15.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Paso 1.15.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Paso 1.15.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Paso 1.15.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.15.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Paso 1.15.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8}$

Paso 1.15.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8}$

Paso 1.15.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2}{8}$

Paso 1.16

Cancela el factor común de $2 \sqrt{3} - 2$ y $8$ .

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Paso 1.16.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8}$

Paso 1.16.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8}$

Paso 1.16.3

Factoriza $2$ de $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8}$

Paso 1.16.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.16.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)}$

Paso 1.16.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4}$

Paso 1.16.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Paso 2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{3} + 1 - (\sqrt{3} - 1)}{4}$

Paso 3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} - - 1}{4}$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}{4}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Resta $\sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{4}$

Paso 4.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1 + 1}{4}$

Paso 4.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{4}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$