Precálculo Ejemplos

$\csc (\arctan (\frac{1}{x}))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \frac{1}{x})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (\frac{1}{x})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \frac{1}{x})$ . Por lo tanto, $\csc (\arctan (\frac{1}{x}))$ es $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}}{\frac{1}{x}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}}{\frac{1}{x}}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} x$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x}$ .

$\sqrt{1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}} x$

Paso 3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} x$

Paso 3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} x$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} x$

Paso 5

Reescribe $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + 1)$ .

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Paso 5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $x^{2} + 1$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2}}} x$

Paso 5.2

Factoriza la potencia perfecta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} \cdot 1}} x$

Paso 5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + 1)} x$

Paso 6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} + 1} x$

Paso 7

Combina $\frac{1}{x}$ y $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} x$

Paso 8

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} x$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{x^{2} + 1}$