Precálculo Ejemplos

$\sin (60) \cos (15) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

El valor exacto de $\sin (60)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (15) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.2

El valor exacto de $\cos (15)$ es $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.2.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45 - 30) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.2.2

Separa la negación.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45 - (30)) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.2.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.2.4

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.2.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.2.6

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.2.7

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.2.8

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.2.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.2.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.2.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.2.8.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.8.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.2.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.2.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{8} - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{8} - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.7.2

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.7.2.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.7.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.7.3

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.7.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \cos (60) \sin (15)$

Paso 1.8

El valor exacto de $\cos (60)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} \sin (15)$

Paso 1.9

El valor exacto de $\sin (15)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.9.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} \sin (45 - 30)$

Paso 1.9.2

Separa la negación.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} \sin (45 - (30))$

Paso 1.9.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Paso 1.9.4

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Paso 1.9.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Paso 1.9.6

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Paso 1.9.7

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.9.8

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.9.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.9.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.9.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.9.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.9.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.9.8.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.9.8.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Paso 1.9.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Paso 1.9.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Paso 1.10

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.10.1

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.10.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

Paso 2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{8}$

Paso 3.2

Multiplica $- - \sqrt{2}$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{8}$

Paso 3.2.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Suma $3 \sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{8}$

Paso 4.2

Resta $\sqrt{6}$ de $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 0}{8}$

Paso 4.3

Suma $4 \sqrt{2}$ y $0$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Paso 4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$