Precálculo Ejemplos

$\sin (\arctan (\frac{x}{2}))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \frac{x}{2})$ . Por lo tanto, $\sin (\arctan (\frac{x}{2}))$ es $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Paso 3

Combina fracciones.

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Paso 3.1

Combinar.

$\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Paso 3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

Paso 4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}$

Paso 4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}$

Paso 4.5

Reescribe $\frac{4 + x^{2}}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $4 + x^{2}$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}$

Paso 4.5.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}$

Paso 4.5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}$

Paso 4.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}$

Paso 4.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

Paso 5

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ .

$\frac{x}{\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

Paso 6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1

Reduce la expresión $\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{1}}$

Paso 6.2

Divide $\sqrt{4 + x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Paso 7

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Paso 8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Paso 8.2

Eleva $\sqrt{4 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Paso 8.3

Eleva $\sqrt{4 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{4 + x^{2}}}^{1}}$

Paso 8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Paso 8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}}$

Paso 8.6

Reescribe ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}$ como $4 + x^{2}$ .

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Paso 8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 + x^{2}}$ como ${(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{({(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{1}}$

Paso 8.6.5

Simplifica.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{4 + x^{2}}$