Precálculo Ejemplos

$\sec (\arctan (\frac{1}{8} x))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \frac{1}{8} x)$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (\frac{1}{8} x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \frac{1}{8} x)$ . Por lo tanto, $\sec (\arctan (\frac{1}{8} x))$ es $\sqrt{1 + {(\frac{1}{8} x)}^{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{1}{8} x)}^{2}}$

Paso 2

Combina $\frac{1}{8}$ y $x$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{8})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{8}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{8^{2}}}$

Paso 3.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{64}}$

Paso 3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{64}{64} + \frac{x^{2}}{64}}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{64 + x^{2}}{64}}$

Paso 5

Reescribe $\frac{64 + x^{2}}{64}$ como ${(\frac{1}{8})}^{2} (64 + x^{2})$ .

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Paso 5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $64 + x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (64 + x^{2})}{64}}$

Paso 5.2

Factoriza la potencia perfecta $8^{2}$ de $64$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (64 + x^{2})}{8^{2} \cdot 1}}$

Paso 5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (64 + x^{2})}{8^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{8})}^{2} (64 + x^{2})}$

Paso 6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{8} \sqrt{64 + x^{2}}$

Paso 7

Combina $\frac{1}{8}$ y $\sqrt{64 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{64 + x^{2}}}{8}$