Precálculo Ejemplos

$\sec (\arctan (\frac{1}{5} x))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \frac{1}{5} x)$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (\frac{1}{5} x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \frac{1}{5} x)$ . Por lo tanto, $\sec (\arctan (\frac{1}{5} x))$ es $\sqrt{1 + {(\frac{1}{5} x)}^{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{1}{5} x)}^{2}}$

Paso 2

Combina $\frac{1}{5}$ y $x$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{5}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Paso 3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{25}}$

Paso 3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{25}{25} + \frac{x^{2}}{25}}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{25 + x^{2}}{25}}$

Paso 5

Reescribe $\frac{25 + x^{2}}{25}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2} (25 + x^{2})$ .

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Paso 5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $25 + x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (25 + x^{2})}{25}}$

Paso 5.2

Factoriza la potencia perfecta $5^{2}$ de $25$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (25 + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}}$

Paso 5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (25 + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} (25 + x^{2})}$

Paso 6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{5} \sqrt{25 + x^{2}}$

Paso 7

Combina $\frac{1}{5}$ y $\sqrt{25 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 + x^{2}}}{5}$