Precálculo Ejemplos

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

Paso 1

Para escribir $\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

Paso 2

Para escribir $\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sin (t) (\cos (t) + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ por $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ por $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{(\cos (t) + 1) \sin (t)}$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(\cos (t) + 1) \sin (t)$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Expande $(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (t) (\cos (t) + 1) - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.2

Combina los términos opuestos en $\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1$ .

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en los términos $\cos (t) \cdot 1$ y $- 1 \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 1 \cos (t) - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.2.2

Resta $1 \cos (t)$ de $1 \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 0 - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.2.3

Suma $\cos (t) \cos (t)$ y $0$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1

Multiplica $\cos (t) \cos (t)$ .

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Paso 5.3.1.1

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.3.1.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.3.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.3.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.4

Reordena $\cos^{2} (t)$ y $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.6

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (t)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.8

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (t))$ como $- (1 - \cos^{2} (t))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.9

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.10

Multiplica $\sin (t) \sin (t)$ .

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Paso 5.10.1

Eleva $\sin (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.10.2

Eleva $\sin (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- \sin^{2} (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 5.11

Suma $- \sin^{2} (t)$ y $\sin^{2} (t)$ .

$\frac{0}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Paso 6

Separa las fracciones.

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Paso 7

Convierte de $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \csc (t)$

Paso 8

Divide $0$ por $\cos (t) + 1$ .

$0 \csc (t)$

Paso 9

Multiplica $0$ por $\csc (t)$ .

$0$