Precálculo Ejemplos

$\frac{a}{a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{a - b - 2 b \frac{a - b}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b - 2 b \frac{a - b}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Multiplica $- 2 b \frac{a - b}{a + b}$ .

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Paso 2.1.1

Combina $- 2$ y $\frac{a - b}{a + b}$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b + b \frac{- 2 (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.1.2

Combina $b$ y $\frac{- 2 (a - b)}{a + b}$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b + \frac{b (- 2 (a - b))}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b + \frac{b \cdot - 2 (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b + \frac{- 2 \cdot b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b - \frac{2 \cdot b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.5

Para escribir $a$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{- b + \frac{a (a + b)}{a + b} - \frac{2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{- b + \frac{a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.7

Para escribir $- b$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{- b \cdot \frac{a + b}{a + b} + \frac{a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.8

Combina $- b$ y $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b (a + b)}{a + b} + \frac{a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b (a + b) + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10

Reescribe $\frac{- b (a + b) + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}$ en forma factorizada.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b \cdot b + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 2.10.2.1

Mueve $b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - (b \cdot b) + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.2.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a \cdot a + a b - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.4

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a - 2 b (- b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a - 2 \cdot - 1 b \cdot b}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.10.7.1

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 2.10.7.1.1

Mueve $b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a - 2 \cdot - 1 (b \cdot b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.7.1.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a - 2 \cdot - 1 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.7.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a + 2 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.8

Suma $- b a$ y $a b$ .

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Paso 2.10.8.1

Mueve $b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b^{2} + a^{2} - a b + a b - 2 b a + 2 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.8.2

Suma $- a b$ y $a b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b^{2} + a^{2} + 0 - 2 b a + 2 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.9

Suma $- b^{2}$ y $0$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{a^{2} - b^{2} - 2 b a + 2 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.10

Suma $- b^{2}$ y $2 b^{2}$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{a^{2} + b^{2} - 2 b a}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.11

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.10.11.1

Reorganiza los términos.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{a^{2} - 2 b a + b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.11.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 b a = 2 \cdot a \cdot b$

Paso 2.10.11.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 2.10.11.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{{(a - b)}^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{a - b}{b}$ por $\frac{a}{a + b}$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{{(a - b)}^{2}}{a + b}}{\frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Combinar.

$\frac{a \frac{{(a - b)}^{2}}{a + b}}{(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Paso 4.2

Combina $a$ y $\frac{{(a - b)}^{2}}{a + b}$ .

$\frac{\frac{a {(a - b)}^{2}}{a + b}}{(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Paso 5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{a {(a - b)}^{2}}{a + b} \cdot \frac{1}{(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Paso 6

Cancela el factor común de $a - b$ .

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Paso 6.1

Factoriza $a - b$ de $a {(a - b)}^{2}$ .

$\frac{(a - b) (a (a - b))}{a + b} \cdot \frac{1}{(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Paso 6.2

Factoriza $a - b$ de $(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}$ .

$\frac{(a - b) (a (a - b))}{a + b} \cdot \frac{1}{(a - b) ((a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)})}$

Paso 6.3

Cancela el factor común.

$\frac{(a - b) (a (a - b))}{a + b} \cdot \frac{1}{(a - b) ((a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)})}$

Paso 6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{a (a - b)}{a + b} \cdot \frac{1}{(a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Paso 7

Multiplica $\frac{a (a - b)}{a + b}$ por $\frac{1}{(a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$ .

$\frac{a (a - b)}{(a + b) ((a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)})}$

Paso 8

Eleva $a + b$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a (a - b)}{{(a + b)}^{1} (a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Paso 9

Eleva $a + b$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a (a - b)}{{(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Paso 10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{a (a - b)}{{(a + b)}^{1 + 1} \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Paso 11

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{a (a - b)}{{(a + b)}^{2} \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Paso 12

Combina ${(a + b)}^{2}$ y $\frac{(a - b) a}{b (a + b)}$ .

$\frac{a (a - b)}{\frac{{(a + b)}^{2} ((a - b) a)}{b (a + b)}}$

Paso 13

Cancela el factor común de ${(a + b)}^{2}$ y $a + b$ .

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Paso 13.1

Factoriza $a + b$ de ${(a + b)}^{2} ((a - b) a)$ .

$\frac{a (a - b)}{\frac{(a + b) ((a + b) ((a - b) a))}{b (a + b)}}$

Paso 13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.1

Factoriza $a + b$ de $b (a + b)$ .

$\frac{a (a - b)}{\frac{(a + b) ((a + b) ((a - b) a))}{(a + b) b}}$

Paso 13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{a (a - b)}{\frac{(a + b) ((a + b) ((a - b) a))}{(a + b) b}}$

Paso 13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a (a - b)}{\frac{(a + b) ((a - b) a)}{b}}$

Paso 14

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$a (a - b) \frac{b}{(a + b) (a - b) a}$

Paso 15

Cancela el factor común de $(a - b) a$ .

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Paso 15.1

Factoriza $(a - b) a$ de $a (a - b)$ .

$(a - b) a (1) \frac{b}{(a + b) (a - b) a}$

Paso 15.2

Factoriza $(a - b) a$ de $(a + b) (a - b) a$ .

$(a - b) a (1) \frac{b}{(a - b) a (a + b)}$

Paso 15.3

Cancela el factor común.

$(a - b) a \cdot 1 \frac{b}{(a - b) a (a + b)}$

Paso 15.4

Reescribe la expresión.

$\frac{b}{a + b}$