Precálculo Ejemplos

$\frac{3}{x^{2} + x - 2} - \frac{5}{x^{2} - x - 6}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{5}{x^{2} - x - 6}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 1) (x + 2) (x - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{5 (x - 1)}{(x - 3) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 1) (x + 2) (x - 3)$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)} - \frac{5 (x - 1)}{(x - 3) (x + 2) (x - 1)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(x - 3) (x + 2) (x - 1)$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)} - \frac{5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 (x - 3) - 5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 3 - 5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{3 x - 9 - 5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x - 9 - 5 x - 5 \cdot - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.4

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{3 x - 9 - 5 x + 5}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.5

Resta $5 x$ de $3 x$ .

$\frac{- 2 x - 9 + 5}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.6

Suma $- 9$ y $5$ .

$\frac{- 2 x - 4}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.7

Factoriza $2$ de $- 2 x - 4$ .

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Paso 6.7.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 4}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.7.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 2)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.7.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (- x - 2)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $- x - 2$ y $x + 2$ .

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 2)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 7.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (x + 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 7.4

Reescribe $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 7.5

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (x + 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 7.6

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{(x - 1) (x - 3)}$

Paso 8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{(x - 1) (x - 3)}$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{(x - 1) (x - 3)}$