Precálculo Ejemplos

$\frac{3 x + 1}{2 x^{2} - 2} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 2$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2}) - 2} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2}) + 2 (- 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2} - 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Paso 1.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2} - 1^{2})} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Paso 1.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $2 x + 2$ y $2 x^{2} - 8 x + 6$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x) + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Paso 1.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Paso 1.2.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Paso 1.2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2}) - 8 x + 6}$

Paso 1.2.4.2

Factoriza $2$ de $- 8 x$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 6}$

Paso 1.2.4.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x) + 6}$

Paso 1.2.4.4

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 3$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x + 3)}$

Paso 1.2.4.6

Cancela el factor común.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x + 3)}$

Paso 1.2.4.7

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 1.3

Factoriza $x^{2} - 4 x + 3$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 3, - 1$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)} \cdot \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)} \cdot \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$ por $\frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{(x + 1) (2 (x + 1))}{(x - 3) (x - 1) (2 (x + 1))}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 3) (x - 1) (2 (x + 1))$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{(x + 1) (2 (x + 1))}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(3 x + 1) (x - 3) + (x + 1) (2 (x + 1))}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(3 x + 1) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x (x - 3) + 1 (x - 3) + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 1 (x - 3) + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 9 x + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 9 x + x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 9 x + x - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.2.2

Suma $- 9 x$ y $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (x \cdot 2 + 1 \cdot 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (2 \cdot x + 1 \cdot 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (2 \cdot x + 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.6

Expande $(2 x + 2) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x (x + 1) + 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.7.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.7.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.7.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.7.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.7.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 4 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.8

Suma $3 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} - 8 x - 3 + 4 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.9

Suma $- 8 x$ y $4 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 3 + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.10

Suma $- 3$ y $2$ .

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.11

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.11.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 6.11.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 4 (x) - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.11.1.2

Reescribe $- 4$ como $1$ más $- 5$

$\frac{5 x^{2} + (1 - 5) x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.11.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} + 1 x - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.11.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{5 x^{2} + x - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.11.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.11.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(5 x^{2} + x) - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.11.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (5 x + 1) - (5 x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.11.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x + 1$ .

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 x + 1}{2 (x + 1) (x - 3)}$