Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{x^{2} - 4} + 2$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2^{2}} + 2$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{1}{(x + 2) (x - 2)} + 2$

Paso 2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{1}{(x + 2) (x - 2)} + 2 \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina $2$ y $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{1}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 2 ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + (2 x + 2 \cdot 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1 + (2 x + 4) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4.3

Expande $(2 x + 4) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + 2 x (x - 2) + 4 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 4 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{1 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4.4.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{1 + 2 x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4.4.1.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{1 + 2 x^{2} - 4 x + 4 x - 8}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4.4.2

Suma $- 4 x$ y $4 x$ .

$\frac{1 + 2 x^{2} + 0 - 8}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4.4.3

Suma $2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{1 + 2 x^{2} - 8}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4.5

Resta $8$ de $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7}{(x + 2) (x - 2)}$