Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{x^{2} - x - 2} - \frac{x}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} - x - 2$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{1}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{x}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} - 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{1}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{x}{(x - 3) (x - 2)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1}{(x - 2) (x + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x}{(x - 3) (x - 2)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{x}{(x - 3) (x - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 2) (x + 1) (x - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{(x - 2) (x + 1)}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{(x - 2) (x + 1) (x - 3)} - \frac{x}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{x}{(x - 3) (x - 2)}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 3}{(x - 2) (x + 1) (x - 3)} - \frac{x (x + 1)}{(x - 3) (x - 2) (x + 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 1) (x - 3)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} - \frac{x (x + 1)}{(x - 3) (x - 2) (x + 1)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(x - 3) (x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} - \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 3 - x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 3 - x \cdot x - x \cdot 1}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{x - 3 - (x \cdot x) - x \cdot 1}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x - 3 - x^{2} - x \cdot 1}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 3 - x^{2} - x}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.4

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{- 3 - x^{2} + 0}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 6.5

Suma $- 3 - x^{2}$ y $0$ .

$\frac{- 3 - x^{2}}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) - x^{2}}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 7.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 1 (3) - (x^{2})}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (3 + x^{2})}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Paso 7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$