Precálculo Ejemplos

$\frac{2}{r + 10} - \frac{4}{r - 6} - \frac{r}{r^{2} + 4 r - 60}$

Paso 1

Factoriza $r^{2} + 4 r - 60$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 60$ y cuya suma es $4$ .

$- 6, 10$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2}{r + 10} - \frac{4}{r - 6} - \frac{r}{(r - 6) (r + 10)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{2}{r + 10}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{r - 6}{r - 6}$ .

$\frac{2}{r + 10} \cdot \frac{r - 6}{r - 6} - \frac{4}{r - 6} - \frac{r}{(r - 6) (r + 10)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{4}{r - 6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{r + 10}{r + 10}$ .

$\frac{2}{r + 10} \cdot \frac{r - 6}{r - 6} - \frac{4}{r - 6} \cdot \frac{r + 10}{r + 10} - \frac{r}{(r - 6) (r + 10)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(r + 10) (r - 6)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{2}{r + 10}$ por $\frac{r - 6}{r - 6}$ .

$\frac{2 (r - 6)}{(r + 10) (r - 6)} - \frac{4}{r - 6} \cdot \frac{r + 10}{r + 10} - \frac{r}{(r - 6) (r + 10)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{4}{r - 6}$ por $\frac{r + 10}{r + 10}$ .

$\frac{2 (r - 6)}{(r + 10) (r - 6)} - \frac{4 (r + 10)}{(r - 6) (r + 10)} - \frac{r}{(r - 6) (r + 10)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(r - 6) (r + 10)$ .

$\frac{2 (r - 6)}{(r + 10) (r - 6)} - \frac{4 (r + 10)}{(r + 10) (r - 6)} - \frac{r}{(r - 6) (r + 10)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (r - 6) - 4 (r + 10)}{(r + 10) (r - 6)} - \frac{r}{(r - 6) (r + 10)}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (r - 6) - 4 (r + 10) - r}{(r + 10) (r - 6)}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 r + 2 \cdot - 6 - 4 (r + 10) - r}{(r + 10) (r - 6)}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$\frac{2 r - 12 - 4 (r + 10) - r}{(r + 10) (r - 6)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 r - 12 - 4 r - 4 \cdot 10 - r}{(r + 10) (r - 6)}$

Paso 6.4

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$\frac{2 r - 12 - 4 r - 40 - r}{(r + 10) (r - 6)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Resta $4 r$ de $2 r$ .

$\frac{- 2 r - 12 - 40 - r}{(r + 10) (r - 6)}$

Paso 7.2

Resta $r$ de $- 2 r$ .

$\frac{- 3 r - 12 - 40}{(r + 10) (r - 6)}$

Paso 7.3

Resta $40$ de $- 12$ .

$\frac{- 3 r - 52}{(r + 10) (r - 6)}$

Paso 7.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 r$ .

$\frac{- (3 r) - 52}{(r + 10) (r - 6)}$

Paso 7.5

Reescribe $- 52$ como $- 1 (52)$ .

$\frac{- (3 r) - 1 (52)}{(r + 10) (r - 6)}$

Paso 7.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 r) - 1 (52)$ .

$\frac{- (3 r + 52)}{(r + 10) (r - 6)}$

Paso 7.7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.7.1

Reescribe $- (3 r + 52)$ como $- 1 (3 r + 52)$ .

$\frac{- 1 (3 r + 52)}{(r + 10) (r - 6)}$

Paso 7.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 r + 52}{(r + 10) (r - 6)}$