Precálculo Ejemplos

$\frac{2}{x^{2} - x - 2} + \frac{10}{x^{2} + 2 x - 8}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} - x - 2$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{10}{x^{2} + 2 x - 8}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} + 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{10}{(x - 2) (x + 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{2}{(x - 2) (x + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{10}{(x - 2) (x + 4)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{10}{(x - 2) (x + 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{10}{(x - 2) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 2) (x + 1) (x + 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{2}{(x - 2) (x + 1)}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{2 (x + 4)}{(x - 2) (x + 1) (x + 4)} + \frac{10}{(x - 2) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{10}{(x - 2) (x + 4)}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (x + 4)}{(x - 2) (x + 1) (x + 4)} + \frac{10 (x + 1)}{(x - 2) (x + 4) (x + 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 1) (x + 4)$ .

$\frac{2 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)} + \frac{10 (x + 1)}{(x - 2) (x + 4) (x + 1)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 4) (x + 1)$ .

$\frac{2 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)} + \frac{10 (x + 1)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x + 4) + 10 (x + 1)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Factoriza $2$ de $2 (x + 4) + 10 (x + 1)$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $2$ de $10 (x + 1)$ .

$\frac{2 (x + 4) + 2 (5 (x + 1))}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Paso 6.1.2

Factoriza $2$ de $2 (x + 4) + 2 (5 (x + 1))$ .

$\frac{2 (x + 4 + 5 (x + 1))}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x + 4 + 5 x + 5 \cdot 1)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Paso 6.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 4 + 5 x + 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Paso 6.4

Suma $x$ y $5 x$ .

$\frac{2 (6 x + 4 + 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Paso 6.5

Suma $4$ y $5$ .

$\frac{2 (6 x + 9)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Paso 6.6

Factoriza $3$ de $6 x + 9$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$\frac{2 (3 (2 x) + 9)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Paso 6.6.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{2 (3 (2 x) + 3 (3))}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Paso 6.6.3

Factoriza $3$ de $3 (2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{2 (3 (2 x + 3))}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

$\frac{2 \cdot 3 (2 x + 3)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Paso 6.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 (2 x + 3)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$