Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} - x y - y^{2}}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Paso 1.2

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} - x y - y^{2}}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 1.3

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} - x y - y^{2}}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{2 x^{2} - x y - y^{2}}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 3.1.1

Reordena los términos.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{2 x^{2} - y^{2} - x y}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 3.1.2

Reordena $- y^{2}$ y $- x y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{2 x^{2} - x y - y^{2}}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- x y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{2 x^{2} - (x y) - y^{2}}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 3.1.4

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{2 x^{2} + (1 - 2) (x y) - y^{2}}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{2 x^{2} + 1 (x y) - 2 (x y) - y^{2}}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 3.1.6

Multiplica $x y$ por $1$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{2 x^{2} + x y - 2 (x y) - y^{2}}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 3.1.7

Mueve los paréntesis.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{2 x^{2} + x y - 2 x y - y^{2}}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(2 x^{2} + x y) - 2 x y - y^{2}}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (2 x + y) - y (2 x + y)}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(2 x + y) (x - y)}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 1 \cdot - 2 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 4.1.1

Reordena los términos.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(2 x + y) (x - y)}{x^{2} - 2 y^{2} - x y}$

Paso 4.1.2

Reordena $- 2 y^{2}$ y $- x y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(2 x + y) (x - y)}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}$

Paso 4.1.3

Factoriza $- 1$ de $- x y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(2 x + y) (x - y)}{x^{2} - (x y) - 2 y^{2}}$

Paso 4.1.4

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(2 x + y) (x - y)}{x^{2} + (1 - 2) (x y) - 2 y^{2}}$

Paso 4.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(2 x + y) (x - y)}{x^{2} + 1 (x y) - 2 (x y) - 2 y^{2}}$

Paso 4.1.6

Multiplica $x y$ por $1$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(2 x + y) (x - y)}{x^{2} + x y - 2 (x y) - 2 y^{2}}$

Paso 4.1.7

Mueve los paréntesis.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(2 x + y) (x - y)}{x^{2} + x y - 2 x y - 2 y^{2}}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(2 x + y) (x - y)}{(x^{2} + x y) - 2 x y - 2 y^{2}}$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(2 x + y) (x - y)}{x (x + y) - 2 y (x + y)}$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(2 x + y) (x - y)}{(x + y) (x - 2 y)}$

Paso 5

Combinar.

$\frac{{(x + y)}^{2} ((2 x + y) (x - y))}{(x + y) (x - y) ((x + y) (x - 2 y))}$

Paso 6

Cancela el factor común de ${(x + y)}^{2}$ y $x + y$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x + y$ de ${(x + y)}^{2} ((2 x + y) (x - y))$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) ((2 x + y) (x - y)))}{(x + y) (x - y) ((x + y) (x - 2 y))}$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Factoriza $x + y$ de $(x + y) (x - y) ((x + y) (x - 2 y))$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) ((2 x + y) (x - y)))}{(x + y) ((x - y) ((x + y) (x - 2 y)))}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + y) ((x + y) ((2 x + y) (x - y)))}{(x + y) ((x - y) ((x + y) (x - 2 y)))}$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + y) ((2 x + y) (x - y))}{(x - y) ((x + y) (x - 2 y))}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x + y$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + y) ((2 x + y) (x - y))}{(x - y) ((x + y) (x - 2 y))}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x + y) (x - y)}{(x - y) (x - 2 y)}$

Paso 8

Cancela el factor común de $x - y$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x + y) (x - y)}{(x - y) (x - 2 y)}$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x + y}{x - 2 y}$