Precálculo Ejemplos

$\frac{1 - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Paso 1.2

Reescribe $\cos^{4} (x)$ como ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}}{1 + \cos^{2} (x)}$

Paso 1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \cos^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1^{2} - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Paso 1.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Paso 2

Cancela el factor común de $1 + \cos^{2} (x)$ .

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Paso 2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Paso 2.2

Divide $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ por $1$ .

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$

Paso 3

Expande $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Paso 4.1.2

Multiplica $- \cos (x)$ por $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Paso 4.1.3

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Paso 4.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x)$

Paso 4.1.5

Multiplica $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 4.1.5.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Paso 4.1.5.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Paso 4.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Paso 4.1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)$

Paso 4.2

Suma $- \cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$1 + 0 - \cos^{2} (x)$

Paso 4.3

Suma $1$ y $0$ .

$1 - \cos^{2} (x)$

Paso 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\sin^{2} (x)$