Precálculo Ejemplos

$\frac{\frac{2 x^{2} - 11 x - 6}{x^{2} - 25}}{\frac{2 x^{2} + 13 x + 6}{x^{2} + x - 30}}$

Paso 1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 x^{2} - 11 x - 6}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 11 (x) - 6}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 11$ como $1$ más $- 12$

$\frac{2 x^{2} + (1 - 12) x - 6}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 1 x - 12 x - 6}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Paso 2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 12 x - 6}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x^{2} + x) - 12 x - 6}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (2 x + 1) - 6 (2 x + 1)}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{x^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + x - 30$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 30$ y cuya suma es $1$ .

$- 5, 6$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ y cuya suma es $b = 13$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $13$ de $13 x$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{2 x^{2} + 13 (x) + 6}$

Paso 5.1.2

Reescribe $13$ como $1$ más $12$

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{2 x^{2} + (1 + 12) x + 6}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{2 x^{2} + 1 x + 12 x + 6}$

Paso 5.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{2 x^{2} + x + 12 x + 6}$

Paso 5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{(2 x^{2} + x) + 12 x + 6}$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{x (2 x + 1) + 6 (2 x + 1)}$

Paso 5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{(2 x + 1) (x + 6)}$

Paso 6

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{(2 x + 1) (x + 6)}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 6}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x - 5$ de $(x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{x - 6}{(x - 5) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\frac{x - 6}{(x - 5) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 6}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6}$

Paso 8

Multiplica $\frac{x - 6}{x + 5}$ por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{(x - 6) (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)}$

Paso 9

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 6) (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)}$

Paso 9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 6}{x + 5}$