Precálculo Ejemplos

$\frac{x}{x^{2} - 10 x + 25} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 10 x + 5^{2}} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

Paso 1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

Paso 1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $2 x - 10$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 (x) - 10}$

Paso 1.2.2

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 x + 2 \cdot - 5}$

Paso 1.2.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 5$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x}{{(x - 5)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{x - 4}{2 (x - 5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 {(x - 5)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x}{{(x - 5)}^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{x - 4}{2 (x - 5)}$ por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 (x - 5) (x - 5)}$

Paso 4.3

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 ({(x - 5)}^{1} (x - 5))}$

Paso 4.4

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1})}$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{1 + 1}}$

Paso 4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.7

Reordena los factores de ${(x - 5)}^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x \cdot 2}{2 {(x - 5)}^{2}} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x \cdot 2 - (x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x - (x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + (- x - - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{2 x + (- x + 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 6.4

Expande $(- x + 4) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - x (x - 5) + 4 (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 6.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - x \cdot x - x \cdot - 5 + 4 (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 6.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - x \cdot x - x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 6.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x - (x \cdot x) - x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 6.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x - x^{2} - x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 6.5.1.2

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - x^{2} + 5 x + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 6.5.1.3

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$\frac{2 x - x^{2} + 5 x + 4 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 6.5.2

Suma $5 x$ y $4 x$ .

$\frac{2 x - x^{2} + 9 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 6.6

Suma $2 x$ y $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 11 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 11 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 7.2

Factoriza $- 1$ de $11 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 11 x) - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 11 x) - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 7.4

Reescribe $- 20$ como $- 1 (20)$ .

$\frac{- (x^{2} - 11 x) - 1 (20)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 7.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 11 x) - 1 (20)$ .

$\frac{- (x^{2} - 11 x + 20)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 7.6

Simplifica la expresión.

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Paso 7.6.1

Reescribe $- (x^{2} - 11 x + 20)$ como $- 1 (x^{2} - 11 x + 20)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 11 x + 20)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Paso 7.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} - 11 x + 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$