Precálculo Ejemplos

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 1

Para escribir $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} + \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} + \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} + \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 5.1.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.1.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.2

Expande $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $- \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.3.1.4

Multiplica $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Paso 5.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.3.1.4.2

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.3.1.4.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.3.1.4.4

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.3.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.3.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.3.2

Resta $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.4

Reescribe $\sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ en forma factorizada.

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Paso 5.4.1

Reagrupa los términos.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.4.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1 + 1 - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.4.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.4.4

Factoriza $2$ de $2 - 2 \cos (x)$ .

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Paso 5.4.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1) - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.4.4.2

Factoriza $2$ de $- 2 \cos (x)$ .

$\frac{2 (1) + 2 (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 5.4.4.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ .

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 6

Cancela el factor común de $1 - \cos (x)$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{\sin (x)}$

Paso 7

Separa las fracciones.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 8

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{2}{1} \csc (x)$

Paso 9

Divide $2$ por $1$ .

$2 \csc (x)$