Precálculo Ejemplos

$1 - 2 \sin^{2} (67.5)$

Paso 1

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\cos (2 \cdot 67.5)$

Paso 2

Multiplica $2$ por $67.5$ .

$\cos (135)$

Paso 3

El valor exacto de $\cos (135)$ es $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.1

Reescribe $135$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\cos (\frac{270}{2})$

Paso 3.2

Aplica la razón del ángulo mitad del coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$

Paso 3.3

Cambia $\pm$ por $-$ porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$

Paso 3.4

Simplifica $- \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$ .

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Paso 3.4.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (90)}{2}}$

Paso 3.4.2

El valor exacto de $\cos (90)$ es $0$ .

$- \sqrt{\frac{1 - 0}{2}}$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$

Paso 3.4.4

Suma $1$ y $0$ .

$- \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 3.4.5

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4.6

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4.7

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 3.4.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.8.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.8.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.8.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.4.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.4.8.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.4.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.8.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.4.8.6.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$- 0.70710678 \dots$