Precálculo Ejemplos

$49^{x} - 6 \cdot 7^{x} = - 9$

Paso 1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$49^{x} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe $49^{x}$ como ${(7^{2})}^{x}$ .

${(7^{2})}^{x} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

Paso 2.2

Reescribe ${(7^{2})}^{x}$ como ${(7^{x})}^{2}$ .

${(7^{x})}^{2} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

Paso 2.3

Sea $u = 7^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $7^{x}$ .

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Paso 2.4.3

Reescribe el polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Paso 2.4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Paso 2.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7^{x}$ .

${(7^{x} - 3)}^{2} = 0$

Paso 3

Establece $7^{x} - 3$ igual a $0$ .

$7^{x} - 3 = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$7^{x} = 3$

Paso 4.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (7^{x}) = \ln (3)$

Paso 4.3

Expande $\ln (7^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (7) = \ln (3)$

Paso 4.4

Divide cada término en $x \ln (7) = \ln (3)$ por $\ln (7)$ y simplifica.

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Paso 4.4.1

Divide cada término en $x \ln (7) = \ln (3)$ por $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (7)$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Paso 4.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Forma decimal:

$x = 0.56457503 \dots$