Precálculo Ejemplos

$5^{x^{3} - x} = 1$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{x^{3} - x}) = \ln (1)$

Paso 2

Expande $\ln (5^{x^{3} - x})$ ; para ello, mueve $x^{3} - x$ fuera del logaritmo.

$(x^{3} - x) \ln (5) = \ln (1)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} \ln (5) - x \ln (5) = \ln (1)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x^{3} \ln (5) - x \ln (5) = 0$

Paso 5

Factoriza $x \ln (5)$ de $x^{3} \ln (5) - x \ln (5)$ .

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Paso 5.1

Factoriza $x \ln (5)$ de $x^{3} \ln (5)$ .

$x \ln (5) x^{2} - x \ln (5) = 0$

Paso 5.2

Factoriza $x \ln (5)$ de $- x \ln (5)$ .

$x \ln (5) x^{2} + x \ln (5) \cdot - 1 = 0$

Paso 5.3

Factoriza $x \ln (5)$ de $x \ln (5) x^{2} + x \ln (5) \cdot - 1$ .

$x \ln (5) (x^{2} - 1) = 0$

Paso 6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x \ln (5) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 7

Factoriza.

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Paso 7.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$x \ln (5) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x \ln (5) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 9

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 10

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 10.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 11

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 11.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $x \ln (5) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1, 1$