Precálculo Ejemplos

$4^{2 x + 1} - 17 \cdot 4^{x} + 4 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $4^{2 x + 1}$ como $4^{2 x} \cdot 4^{1}$ .

$4^{2 x} \cdot 4 - 17 \cdot 4^{x} + 4 = 0$

Paso 1.2

Reescribe $4^{2 x}$ como ${(4^{x})}^{2}$ .

${(4^{x})}^{2} \cdot 4 - 17 \cdot 4^{x} + 4 = 0$

Paso 1.3

Sea $u = 4^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $4^{x}$ .

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Paso 1.3.1

Evalúa el exponente.

$u^{2} \cdot 4 - 17 \cdot u + 4 = 0$

Paso 1.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Paso 1.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ y cuya suma es $b = - 17$ .

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Paso 1.4.1.1

Factoriza $- 17$ de $- 17 u$ .

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Paso 1.4.1.2

Reescribe $- 17$ como $- 1$ más $- 16$

$4 u^{2} + (- 1 - 16) u + 4 = 0$

Paso 1.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 16 u + 4 = 0$

Paso 1.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 16 u + 4 = 0$

Paso 1.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - 4 (4 u - 1) = 0$

Paso 1.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 4) = 0$

Paso 1.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4^{x}$ .

$(4 \cdot 4^{x} - 1) (4^{x} - 4) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 \cdot 4^{x} - 1 = 0$

$4^{x} - 4 = 0$

Paso 3

Establece $4 \cdot 4^{x} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $4 \cdot 4^{x} - 1$ igual a $0$ .

$4 \cdot 4^{x} - 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $4 \cdot 4^{x} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica $4$ por $4^{x}$ .

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Paso 3.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{x} - 1 = 0$

Paso 3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4^{1 + x} - 1 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4^{1 + x} = 1$

Paso 3.2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4^{1 + x}) = \ln (1)$

Paso 3.2.4

Expande $\ln (4^{1 + x})$ ; para ello, mueve $1 + x$ fuera del logaritmo.

$(1 + x) \ln (4) = \ln (1)$

Paso 3.2.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.5.1

Simplifica $(1 + x) \ln (4)$ .

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Paso 3.2.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \ln (4) + x \ln (4) = \ln (1)$

Paso 3.2.5.1.2

Multiplica $\ln (4)$ por $1$ .

$\ln (4) + x \ln (4) = \ln (1)$

Paso 3.2.6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.6.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\ln (4) + x \ln (4) = 0$

Paso 3.2.7

Reordena $\ln (4)$ y $x \ln (4)$ .

$x \ln (4) + \ln (4) = 0$

Paso 3.2.8

Resta $\ln (4)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (4) = - \ln (4)$

Paso 3.2.9

Divide cada término en $x \ln (4) = - \ln (4)$ por $\ln (4)$ y simplifica.

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Paso 3.2.9.1

Divide cada término en $x \ln (4) = - \ln (4)$ por $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Paso 3.2.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.9.2.1

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 3.2.9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Paso 3.2.9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Paso 3.2.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.9.3.1

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 3.2.9.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Paso 3.2.9.3.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$x = - 1$

Paso 4

Establece $4^{x} - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $4^{x} - 4$ igual a $0$ .

$4^{x} - 4 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $4^{x} - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$4^{x} = 4$

Paso 4.2.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$4^{x} = 4^{1}$

Paso 4.2.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 1$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 \cdot 4^{x} - 1) (4^{x} - 4) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1$