Precálculo Ejemplos

$4^{2 x} - 5 \cdot 4^{x + \frac{1}{2}} + 16 = 0$

Paso 1

Reescribe $4^{x + \frac{1}{2}}$ como $4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2 x} - 5 \cdot (4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}) + 16 = 0$

Paso 2

Reescribe $4^{2 x}$ como exponenciación.

${(4^{x})}^{2} - 5 \cdot (4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}) + 16 = 0$

Paso 3

Elimina los paréntesis.

${(4^{x})}^{2} - 5 \cdot 4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

Paso 4

Sustituye $u$ por $4^{x}$ .

$u^{2} - 5 \cdot u \cdot 4^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u^{2} - 5 u \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

Paso 5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{2} - 5 u \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + 16 = 0$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$u^{2} - 5 u \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + 16 = 0$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} - 5 u \cdot 2 + 16 = 0$

Paso 5.4

Evalúa el exponente.

$u^{2} - 5 u \cdot 2 + 16 = 0$

Paso 5.5

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$u^{2} - 10 u + 16 = 0$

Paso 6

Resuelve $u$

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Paso 6.1

Factoriza $u^{2} - 10 u + 16$ con el método AC.

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Paso 6.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $16$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 8, - 2$

Paso 6.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 8) (u - 2) = 0$

Paso 6.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 2 = 0$

Paso 6.3

Establece $u - 8$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.3.1

Establece $u - 8$ igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

Paso 6.3.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 8$

Paso 6.4

Establece $u - 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.4.1

Establece $u - 2$ igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Paso 6.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 2$

Paso 6.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 8) (u - 2) = 0$ verdadera.

$u = 8, 2$

Paso 7

Sustituye $8$ por $u$ en $u = 4^{x}$ .

$8 = 4^{x}$

Paso 8

Resuelve $8 = 4^{x}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $4^{x} = 8$ .

$4^{x} = 8$

Paso 8.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{2 x} = 2^{3}$

Paso 8.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$2 x = 3$

Paso 8.4

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.4.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 8.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 9

Sustituye $2$ por $u$ en $u = 4^{x}$ .

$2 = 4^{x}$

Paso 10

Resuelve $2 = 4^{x}$ .

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $4^{x} = 2$ .

$4^{x} = 2$

Paso 10.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{2 x} = 2^{1}$

Paso 10.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$2 x = 1$

Paso 10.4

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.4.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 10.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 10.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 11

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.5, 0.5$

Forma de número mixto:

$x = 1 \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$