Precálculo Ejemplos

$36^{x} - 6^{x} = 6$

Paso 1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$36^{x} - 6^{x} - 6 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe $36^{x}$ como ${(6^{2})}^{x}$ .

${(6^{2})}^{x} - 6^{x} - 6 = 0$

Paso 2.2

Reescribe ${(6^{2})}^{x}$ como ${(6^{x})}^{2}$ .

${(6^{x})}^{2} - 6^{x} - 6 = 0$

Paso 2.3

Sea $u = 6^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $6^{x}$ .

$u^{2} - u - 6 = 0$

Paso 2.4

Factoriza $u^{2} - u - 6$ con el método AC.

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Paso 2.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 2.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 3) (u + 2) = 0$

Paso 2.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6^{x}$ .

$(6^{x} - 3) (6^{x} + 2) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$6^{x} - 3 = 0$

$6^{x} + 2 = 0$

Paso 4

Establece $6^{x} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $6^{x} - 3$ igual a $0$ .

$6^{x} - 3 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $6^{x} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$6^{x} = 3$

Paso 4.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (6^{x}) = \ln (3)$

Paso 4.2.3

Expande $\ln (6^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (6) = \ln (3)$

Paso 4.2.4

Divide cada término en $x \ln (6) = \ln (3)$ por $\ln (6)$ y simplifica.

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Paso 4.2.4.1

Divide cada término en $x \ln (6) = \ln (3)$ por $\ln (6)$ .

$\frac{x \ln (6)}{\ln (6)} = \frac{\ln (3)}{\ln (6)}$

Paso 4.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (6)$ .

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Paso 4.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (6)}{\ln (6)} = \frac{\ln (3)}{\ln (6)}$

Paso 4.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (6)}$

Paso 5

Establece $6^{x} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $6^{x} + 2$ igual a $0$ .

$6^{x} + 2 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $6^{x} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$6^{x} = - 2$

Paso 5.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (6^{x}) = \ln (- 2)$

Paso 5.2.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 2)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.2.4

No hay soluciones para $6^{x} = - 2$

No hay solución

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(6^{x} - 3) (6^{x} + 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (6)}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (6)}$

Forma decimal:

$x = 0.61314719 \dots$