Precálculo Ejemplos

$3^{2 x} + 35 = 12 (3^{x})$

Paso 1

Resta $12 \cdot 3^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$3^{2 x} + 35 - 12 \cdot 3^{x} = 0$

Paso 2

Reescribe $3^{2 x}$ como exponenciación.

${(3^{x})}^{2} + 35 - 12 \cdot 3^{x} = 0$

Paso 3

Sustituye $u$ por $3^{x}$ .

$u^{2} + 35 - 12 u = 0$

Paso 4

Mueve $35$ .

$u^{2} - 12 u + 35 = 0$

Paso 5

Resuelve $u$

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Paso 5.1

Factoriza $u^{2} - 12 u + 35$ con el método AC.

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Paso 5.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $35$ y cuya suma es $- 12$ .

$- 7, - 5$

Paso 5.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 7) (u - 5) = 0$

Paso 5.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 7 = 0$

$u - 5 = 0$

Paso 5.3

Establece $u - 7$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.3.1

Establece $u - 7$ igual a $0$ .

$u - 7 = 0$

Paso 5.3.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 7$

Paso 5.4

Establece $u - 5$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.4.1

Establece $u - 5$ igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Paso 5.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 5$

Paso 5.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 7) (u - 5) = 0$ verdadera.

$u = 7, 5$

Paso 6

Sustituye $7$ por $u$ en $u = 3^{x}$ .

$7 = 3^{x}$

Paso 7

Resuelve $7 = 3^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $3^{x} = 7$ .

$3^{x} = 7$

Paso 7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (7)$

Paso 7.3

Expande $\ln (3^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (7)$

Paso 7.4

Divide cada término en $x \ln (3) = \ln (7)$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Paso 7.4.1

Divide cada término en $x \ln (3) = \ln (7)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Paso 7.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 7.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Paso 7.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Paso 8

Sustituye $5$ por $u$ en $u = 3^{x}$ .

$5 = 3^{x}$

Paso 9

Resuelve $5 = 3^{x}$ .

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $3^{x} = 5$ .

$3^{x} = 5$

Paso 9.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (5)$

Paso 9.3

Expande $\ln (3^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (5)$

Paso 9.4

Divide cada término en $x \ln (3) = \ln (5)$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Paso 9.4.1

Divide cada término en $x \ln (3) = \ln (5)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Paso 9.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 9.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Paso 9.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Paso 10

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}, \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}, \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Forma decimal:

$x = 1.77124374 \dots, 1.46497352 \dots$