Precálculo Ejemplos

$7^{x^{2}} = 8^{9 - x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (7^{x^{2}}) = \ln (8^{9 - x})$

Paso 2

Expande $\ln (7^{x^{2}})$ ; para ello, mueve $x^{2}$ fuera del logaritmo.

$x^{2} \ln (7) = \ln (8^{9 - x})$

Paso 3

Expande $\ln (8^{9 - x})$ ; para ello, mueve $9 - x$ fuera del logaritmo.

$x^{2} \ln (7) = (9 - x) \ln (8)$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \ln (7) = 9 \ln (8) - x \ln (8)$

Paso 4.2

Suma $x \ln (8)$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} \ln (7) + x \ln (8) = 9 \ln (8)$

Paso 4.3

Resta $9 \ln (8)$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} \ln (7) + x \ln (8) - 9 \ln (8) = 0$

Paso 4.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.5

Sustituye los valores $a = \ln (7)$ , $b = \ln (8)$ y $c = - 9 \ln (8)$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln^{2} (8) - 4 \cdot (\ln (7) \cdot (- 9 \ln (8)))}}{2 \ln (7)}$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Factoriza $\ln (8)$ de $\ln^{2} (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9 \ln (8)$ .

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Paso 4.6.1.1

Factoriza $\ln (8)$ de $\ln^{2} (8)$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) \ln (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot (- 9 \ln (8))}}{2 \ln (7)}$

Paso 4.6.1.2

Factoriza $\ln (8)$ de $- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9 \ln (8)$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) \ln (8) + \ln (8) (- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)}}{2 \ln (7)}$

Paso 4.6.1.3

Factoriza $\ln (8)$ de $\ln (8) \ln (8) + \ln (8) (- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) (\ln (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)}}{2 \ln (7)}$

Paso 4.6.2

Multiplica $- 9$ por $- 4$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Paso 4.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{\ln (8) - \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}, - \frac{\ln (8) + \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (8) - \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}, - \frac{\ln (8) + \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Forma decimal:

$x = 2.61260549 \dots, - 3.68122705 \dots$