Precálculo Ejemplos

$8^{x^{2} - 2 x} = \frac{1}{2}$

Paso 1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$8^{x^{2} - 2 x} = \frac{1}{2^{1}}$

Paso 2

Mueve $2^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$8^{x^{2} - 2 x} = 2^{- 1}$

Paso 3

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{3 (x^{2} - 2 x)} = 2^{- 1}$

Paso 4

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$3 (x^{2} - 2 x) = - 1$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Divide cada término en $3 (x^{2} - 2 x) = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.1.1

Divide cada término en $3 (x^{2} - 2 x) = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 5.1.2.1.2

Divide $x^{2} - 2 x$ por $1$ .

$x^{2} - 2 x = \frac{- 1}{3}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} - 2 x = - \frac{1}{3}$

Paso 5.2

Suma $\frac{1}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} = 0$

Paso 5.3

Multiplica por el mínimo común denominador $3$ , luego simplifica.

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 (\frac{1}{3}) = 0$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$3 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{1}{3}) = 0$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{1}{3}) = 0$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} - 6 x + 1 = 0$

Paso 5.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.5

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 6$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Paso 5.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.6.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.6.1.3

Resta $12$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.6.1.4

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 5.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$

Paso 5.6.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3}$

Paso 5.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{3 + \sqrt{6}}{3}, \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{3 + \sqrt{6}}{3}, \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$

Forma decimal:

$x = 1.81649658 \dots, 0.18350341 \dots$