Precálculo Ejemplos

$e^{2 x} + 7 e^{x} - 3 = 0$

Paso 1

Reescribe $e^{2 x}$ como exponenciación.

${(e^{x})}^{2} + 7 e^{x} - 3 = 0$

Paso 2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u^{2} + 7 u - 3 = 0$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 7$ y $c = - 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.1.3

Suma $49$ y $12$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2}$

Paso 3.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Paso 4

Sustituye $- \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

Paso 5

Resuelve $- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ .

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$

Paso 5.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Paso 5.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Paso 5.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Paso 5.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Paso 6

Sustituye $- \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

Paso 7

Resuelve $- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Paso 7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$

Paso 7.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 7.4

No hay soluciones para $e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

No hay solución

Paso 8

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Forma decimal:

$x = - 0.90356001 \dots$