Precálculo Ejemplos

$\csc^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

Paso 1

Reemplaza $\csc^{2} (x)$ con $\cot^{2} (x) + 1$ según la identidad de $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) + 1) - 2 \cot (x) = 0$

Paso 2

Reordena el polinomio.

$\cot^{2} (x) - 2 \cot (x) + 1 = 0$

Paso 3

Sustituye $u$ por $\cot (x)$ .

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 0$

Paso 4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Paso 4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 4.3

Reescribe el polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Paso 4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Paso 5

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 6

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 7

Sustituye $\cot (x)$ por $u$ .

$\cot (x) = 1$

Paso 8

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (1)$

Paso 9

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.1

El valor exacto de $arccot (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 10

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 11

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 11.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 11.2

Combina fracciones.

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Paso 11.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 11.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 11.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 12

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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Paso 12.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 12.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 12.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 12.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 13

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$