Precálculo Ejemplos

$\cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

Paso 1

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

${(u)}^{2} - (u) - 1 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 6

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 7

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 8

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

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Paso 8.1

El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 9

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

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Paso 9.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Paso 9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\arccos (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$x = 2.23703575$

Paso 9.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.23703575$

Paso 9.4

Resuelve $x$

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Paso 9.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 2.23703575$

Paso 9.4.2

Simplifica $2 (3.14159265) - 2.23703575$ .

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Paso 9.4.2.1

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.23703575$

Paso 9.4.2.2

Resta $2.23703575$ de $6.2831853$ .

$x = 4.04614954$

Paso 9.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 9.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 9.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 9.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 9.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2.23703575 + 2 π n, 4.04614954 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Enumera todas las soluciones.

$x = 2.23703575 + 2 π n, 4.04614954 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$