Precálculo Ejemplos

$\cos^{2} (x) + 2 \sin (x) - 2 = 0$

Paso 1

Reemplaza $\cos^{2} (x)$ con $1 - \sin^{2} (x)$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 2 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta $2$ de $1$ .

$- 1 - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Paso 2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.1

Reordena los términos.

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Paso 2.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sin (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $2$ como $1$ más $1$

$- \sin^{2} (x) + (1 + 1) \sin (x) - 1 = 0$

Paso 2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) - 1 = 0$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + 1 \sin (x) - 1 = 0$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Paso 2.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\sin (x) (- \sin (x) + 1) - 1 (- \sin (x) + 1) = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- \sin (x) + 1$ .

$(- \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $- \sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $- \sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $- \sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sin (x) = - 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.2.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Paso 2.4.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 2.4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.4.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 2.4.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.4.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.6.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 2.4.2.6.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.4.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.4.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.4.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.4.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.4.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$